对 #887 的求解促使我们研究更一般的情况

$$f_{n+1}=af_n^2+bf_n+c\qquad(a\not=0)$$

这一递推统称为二次非线性递推。

显然，我们可以用同样的方法分离变量

$$\left(af_{n+1}+\dfrac{b}{2}\right)=\left(af_{n+1}+\dfrac{b}{2}\right)^2+ac+\dfrac{b}{2}-\dfrac{b^2}{4}$$

因此，我们只要考虑一种情况

$$f_{n+1}=f_n^2+c$$

它就是 Pollad-rho 中所用到的随机函数。

• $c=0$ 时，显然有通项公式 $f_n=f_0^{2^n}$。

• $c\not=0$ 时，该数列是具有 混沌性 的，这意味着我们求不出一般的通项公式。 但我们可以渐进估计它。我们有

  $$f_n\sim C^{2^n}\qquad(n\rightarrow\infty)$$

  $C$ 是某个常数。

因此，考场上遇到它，套路是分离变量，如果 $c\not=0$ 就算了吧（