首先改坐标：$a\leftarrow a-1,b\leftarrow b-1$。

设 $g_{k,y}$ 为导弹和坦克走到 $(k,y)$ 并相遇的方案数，$f_{k,y}$ 为导弹和坦克走到 $(k,y)$ 并第一次相遇的方案数。则

$$g_{k,y}=\dbinom{2k+a}{k,k,a}\dbinom{a}{y}=\sum_{i=0}^kf_{k-i,y}\dbinom{2i}{i}$$

设 $h(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dbinom{2k}{k}x^k$，则

$$\dbinom{2(k+1)}{k+1}=\dfrac{(2k+2)^{\underline{2}}}{(k+1)^2}\dbinom{2k}{k}=\left(4-\dfrac{2}{k+1}\right)\dbinom{2k}{k}$$

$$h(x)=4xh(x)-2\int h(x)\mathrm{d}x+1$$

$$h'(x)=4xh'(x)+4h(x)-2h(x)$$ $$\dfrac{h'(x)}{h(x)}=\dfrac{2}{1-4x}$$ $$h(0)=1,h(x)=Ce^{\int\frac{2\mathrm{d}x}{1-4x}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-4x}}$$

设 $f_y(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty f_{k,y}x^k,g_y(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty g_{k,y}x^k$，则

$$g_y(x)=\dfrac{f_y(x)}{\sqrt{1-4x}}$$

$$f_y(x)=\sqrt{1-4x}g_y(x)$$

于是答案即

$$\sum_{y=0}^a\sum_{k=0}^bf_{k,y}f_{b-k,y}$$ $$=\sum_{y=0}^a[x^b]f^2_y(x)$$ $$=\sum_{y=0}^a[x^b](1-4x)g_y^2(x)$$ $$=\sum_{y=0}^a\dbinom{a}{y}^2[x^b](1-4x)g_0^2(x)$$ $$=\dbinom{2a}{a}[x^b](1-4x)g_0^2(x)$$

$\Theta(a+b)$ 计算阶乘和卷积即可。